Pengertian, Rumus Dasar , Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri pada Matematika Minat

Admin

Saturday, August 8, 2020

Salam Para Bintang

Kali ini, di artikel ini saya kan menuliskan materi pelajaran untuk tingkat SMA dan boleh kalian download secara gratis karena sudah saya buatkan dalam bentuk pdf. Saya memberikan materi beserta soal-soal mengenai limit trigonometri. Materi ini biasanya muncul di kelas XII yaitu di Matematika Minat untuk Kurikulum 2013. Jadi, buat kalian yang ingin mempelajari materi ini silahkan di download langsung di sini.

Semoga ini bisa bermanfaat buat kalian semua, khususnya pelajar tingkat SMA baik kelas X, XI dan kelas XII. Materi ini juga bisa menjadi bahan buat adik-adik yang ingin mengambil dan ingin mengikuti Ujian Masuk PTN atau nama kerennya UTBK dan juga ujian Mandiri atau ujian-ujian masuk PTN lainnya.

Rumus dasar limit fungsi trigonometri, yaitu:

$\lim_{x\to 0 }\frac{sin (x)}{x} =1; \lim_{x\to 0 }\frac{x}{sin (x)} =1$

$\lim_{x\to 0 }\frac{tan (x)}{x} =1; \lim_{x\to 0 }\frac{x}{tan (x)} =1$

Dari rumus dasar diatas dapat dikembangkan rumus-rumus sebagai berikut:

$\lim_{x\to 0 }\frac{sin (ax)}{x} =a; \lim_{x\to 0 }\frac{x}{sin (ax)} =\frac{1}{a}$
$\lim_{x\to 0 }\frac{tan (ax)}{x} =a; \lim_{x\to 0 }\frac{x}{tan (ax)} =\frac{1}{a}$

Kesimpulan dari rumus di atas adalah:

$\lim_{x\to 0 }\frac{sin (ax)}{bx} =\frac{a}{b}; \lim_{x\to 0 }\frac{bx}{sin (ax)} =\frac{b}{a}$

$\lim_{x\to 0 }\frac{sin (ax)}{tan (bx)} =\frac{a}{b}; \lim_{x\to 0 }\frac {tan (bx)}{sin (ax)} =\frac{b}{a}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin (x-a)}{(x-a)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x-a)}{sin(x-a)}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan (x-a)}{(x-a)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x-a)}{tan(x-a)}=1$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\, k(x-a)}{(x-a)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan\, k(x-a)}{(x-a)}=k$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\, (x-a)}{k(x-a)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan\, (x-a)}{k(x-a)}=\frac{1}{k}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\, \, l(x-a)}{k(x-a)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan\, l(x-a)}{k(x-a)}=\frac{l}{k}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\, \, l(x-a)}{tan\, k(x-a)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan\,l(x-a)}{sin\, k(x-a)}=\frac{l}{k}$

Ingin Pintar dan lulus di SMA PLUS YASOP, SMA DEL dan Matauli. Khusus buat kelas XII yuk persiapkan diri untuk bisa lulus di UTBK 2021.

Bimbelnya di star ed aja loh.....

Hubungi : 0821-6557-6215

===========================================

Contoh dan Pembahasan:

$1. Nilai\, dari\, \lim_{x\to 0 }\frac{sin(2x)}{(3x)} =....$

Penyelesaian:

$\lim_{x\to 0 }\frac{sin(2x)}{(3x)} =\lim_{x\to 0 }\frac{sin(2x)}{(3x)}x\frac{2x}{2x}x\frac{3x}{3x}\$

$\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =\lim_{x\to 0 }\frac{sin(2x)}{(2x)}x \lim_{x\to 0 }\frac{(2x)}{(3x)} x \lim_{x\to 0 }\frac{(3x)}{(3x)}$

$= 1\, x\: \frac{2}{3}x\frac{3}{3}=\frac{2}{3}$

===========================================

$2. Nilai \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin 8x}{tan 2x}=.....$

Penyelesaian:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin 8x}{tan 2x}=\lim_{x\rightarrow \, 0} \frac{sin 8x}{tan 2x}x\frac{2x}{2x}x\frac{8x}{8x}=\lim_{x\rightarrow \, 0}\frac{sin\, 8x}{8x}x \lim_{x\rightarrow \, 0}\frac{2x}{tan2x}x\frac{}{}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{8x}{2x}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin 8x}{tan 2x}= 1\, x\,1\, x\, \frac{8}{2} = 4$

==========================================

$3. Nilai\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\, \, sin^{2}\, 3x\, .\, tan\, 5x}{6x^{3}}=.....$

Penyelesaian:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\, \, sin^{2}\, 3x\, .\, tan\, 5x}{6x^{3}}=\frac{2}{6}\,\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\, \, sin^{2}\, 3x\, .\, tan\, 5x}{x^{3}}=\frac{1}{3}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin^{2}\, 3x}{x^{2}} x\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tan\, 5x}{x}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\, \, sin^{2}\, 3x\, .\, tan\, 5x}{6x^{3}}=\frac{1}{3}\, .\, 3^{2}.5=15$

===========================================

Untuk limit trigonometri jika muncul pada soal yaitu bentuk cosinus tapi dalam operasi perkalian/pembagian dapat kita abaikan saja karena nilai cosinus 0 = 1. Tetapi , jika terdapat dalam soal cosinus menggunakan operasi penjumlahan maupun pengurangan maka dapat diselesaiakan dengan menggunakan rumus atau konsep sudut ganda yang kalian pelajari di kelas XI.

Perhatikan dengan cermat rumus berikut:

$cos\, n(x) = 1-2 \, sin^{2}\, \frac{n}{2}x$

misalnya:

$1.\, \, cos\, 2(x) = 1-2 \, sin^{2}\, \frac{2}{2}x =1-2 \, sin^{2}\, x$

$2.\, \, cos\, 4(x) = 1-2 \, sin^{2}\, \frac{4}{2}x =1-2 \, sin^{2}\, 2x$

$3.\, \, cos\, 8(x) = 1-2 \, sin^{2}\, \frac{8}{2}x =1-2 \, sin^{2}\, 4x$

$4.\, \, cos\, 5(x) = 1-2 \, sin^{2}\, \frac{5}{2}x =1-2 \, sin^{2}\, \frac{5}{2}x$

=======================================

======================================

Contoh dan Pembahasan:

$1. Nilai \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos\, 2x}{x\, tan\, 3x}=........$

Penyelesaian:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos\, 2x}{x\, tan\, 3x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-(1-2 sin^{2}x)}{x\, tan\, 3x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}x}{x\, tan\, 3x}=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\, x}{x\,}. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\, x}{tan\, 3x\,}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos\, 2x}{x\, tan\, 3x}= 2\, .\, 1.\, \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
=====================================

$2. Soal \, \, UN\, \, SMA\, \, \, \, IPA \, \, 2007$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x\, sin\, 3x}{1-cos\, 6x}=......$

Penyelesaian:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x\, sin\, 3x}{1-cos\, 6x}=2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\, sin\, 3x}{1-(1-2sin^{2}\, 3x)}=2 \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\, sin\, 3x}{2sin^{2}\, 3x}=\frac{2}{2} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x\,}{sin\, 3x}. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\, 3x\,}{sin\, 3x}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x\, sin\, 3x}{1-cos\, 6x}=1.\frac{1}{3}.1=\frac{1}{3}$

=======================================

$3. Soal\, UN\, MM\, \, IPA \, \, 2016$

$Nilai\, \, \lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos\, 4x-1}{1-cos\, 2x}=......$

Penyelesaian:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos\, 4x-1}{1-cos\, 2x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-2\, sin^{2}x-1}{1-(1-2sin^{2}x)}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2\, sin^{2}x}{2sin^{2}x}=\frac{-2.1^{2}}{2.1^{2}}=-1$

========================================

$4. Soal\, \, SPMB\, \, 2005$

$Nilai \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos\, x}{2x\, sin\, 3x}=.....$

Penyelesaian:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos\, x}{2x\, sin\, 3x}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-(1-2\, sin^{2}x)}{x\, sin\, 3x}= \frac{2}{2}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\, sin^{2}x}{x\, sin\, 3x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\, sin\, x}{x}. \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\, sin\, x}{sin\, 3x}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos\, x}{2x\, sin\, 3x}=1\, .\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

Demikianlah materi dan contoh soal yang saya berikan dalam mendukung materi limit fungsi Trigonometri. Kiranya semakin memantapkan kalian semua yang membaca tulisan ini. Dalam artikel ini, saya akan memberikan kumpulan soal-soal Limit Fungsi Trigonometri dalam bentuk Pdf, silahkan didownload ya.

BLOG PENDIDIK

Pengertian, Rumus Dasar , Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri pada Matematika Minat

Admin Saturday, August 8, 2020 edit Tags: Materi Matematika