Rumus - Rumus Trigonometri : Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Admin

Wednesday, August 12, 2020

Salam Para Bintang

Kali ini, di artikel ini saya kan menuliskan materi pelajaran untuk tingkat SMA dan boleh kalian download secara gratis karena sudah saya buatkan dalam bentuk pdf. Saya memberikan materi beserta soal-soal mengenai Rumus-rumus Trigonometri. Materi ini biasanya muncul di kelas XI yaitu di Matematika Minat untuk Kurikulum 2013. Jadi, buat kalian yang ingin mempelajari materi ini silahkan di download langsung di sini.

Semoga ini bisa bermanfaat buat kalian semua, khususnya pelajar tingkat SMA baik kelas X, XI dan kelas XII. Materi ini juga bisa menjadi bahan buat adik-adik yang ingin mengambil dan ingin mengikuti Ujian Masuk PTN atau nama kerennya UTBK dan juga ujian Mandiri atau ujian-ujian masuk PTN lainnya.

Sekarang kita bahas materinya:

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Rumus sinus dan cosinus, dan tangen dua sudut adalah sebagai berikut:

$\blacksquare \, \, sin(A+B)=sin\, A.cos\, B+cos\, A.sin\, B$

$\blacksquare \, \, sin(A-B)=sin\, A.cos\, B-cos\, A.sin\, B$

$\blacksquare \, \, cos(A+B)=cos\, A.cos\, B-sin\, A.sin\, B$

$\blacksquare \,\, cos(A-B)=cos\, A.cos\, B+sin\, A.sin\, B$

$\blacksquare \, tan (A+B)=\frac{tan\, A+tan\, B}{1-tanA.tan\, B}$

$\blacksquare \, tan (A-B)=\frac{tan\, A-tan\, B}{1+tanA.tan\, B}$

Untuk memahami penggunaaan rumus-rumus dasar Trigonometri , silahkan perhatikan contoh-contoh berikut!

Contoh 1:

$Hitunglah\, \, nilai\, sin\, 75^{0} !$

Penyelesaian:
$sin\, 75^{0} =sin(45+30)$

$sin\, 75^{0} =sin\, 45\, cos\, 30+cos \, 45.sin\, 35$

$sin\, 75^{0} =(\frac{1}{2}\sqrt{2}).(\frac{1}{2}\sqrt{3})+(\frac{1}{2}\sqrt{2})(\frac{1}{2})$

$sin\, 75^{0} =\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

Contoh 2:

$Diketahui\, sin\, A=\frac{12}{13}\, dan \, cos\, B=\frac{3}{5}\, dengan\, sudut\, A\, tumpul\, dan\, sudut B\, lancip.\, Nilai\, sin(A-B)\, adalah...$ $A.-\frac{56}{65}$

$B.-\frac{16}{65}$

$C.\frac{16}{65}$

$D.\frac{19}{65}$

$E.\frac{56}{65}$

Penyelesaian:

$sin \, A=\frac{12}{13}=\frac{de}{mi}$

$maka: sa = mi^{2}-de^{2}$

$sa =\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$

$maka: cos \, A=-\frac{5}{13}(karena\, \, A \, dikuadran\, \, II, nilai\, \, cos \, A \, \, negatif)$

$Dari\, \, cos B=\frac{3}{5}, maka \, \, dapat \, \, ditentukan \, \, sin\, B \, \, yaitu \, \, diperoleh \, \, dari:$

$cos \, B=\frac{3}{5}=\frac{sa}{mi}, \, maka\, :$

$de=\sqrt{mi^{2}-sa^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$

$maka: sin B=\frac{4}{5}(karena\, \, B \, dikuadran\, \, I, nilai\, \, sin\, B \, \, positif)$

$Dari \, \, perhitungan \, \, di \, \, atas, \, \, diperoleh:$

$sin(A-B)=sin\, A\, \, cos\, B-cos\, A\, \, sin\, B$

$sin(A-B)=(\frac{12}{13} )(\frac{3}{5})-(-\frac{5}{13})(\frac{4}{5})$

$sin(A-B)=\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=\frac{56}{65}$

Contoh 3:

$Nilai\, \, dari\, \, sin\, \, 285^0\, \, adalah....$

$A.-\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

$B.-\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

$C.-\frac{1}{4}(\sqrt{2}-\sqrt{6})$

$D.\frac{1}{4}\sqrt{6}-\sqrt{2}$

$E.\frac{1}{4}\sqrt{6}+\sqrt{2}$

Penyelesaian:

$sin\, 285^{0}=sin(240+45)^{0}$

$sin\, 285^{0}=sin\, 240.cos\, 45+cos\, 240.sin\, 45$

Karena:

$sin\, 240\, \, =\, \, sin (270-30)=-cos\, 30=-\frac{1}{2}\sqrt{3} \, \, dan \, \, cos\, \, 240\, =\, cos(270-30)=-\, \, sin \, 30=-\frac{1}{2}$

$sin \, 285=sin \, 240\, \, cos\, 45+cos \, \, 240\, \, sin\, 45$

$sin \, 285=(-\frac{1}{2}\sqrt{3})(\frac{1}{2}\sqrt{2})+(-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}\sqrt{2})$

$sin \, 285=-\frac{1}{4}\sqrt{6}\, \, -\frac{1}{4}\sqrt{2}=-\frac{1}{4}(\sqrt{6}\, \, +\sqrt{2})$

Contoh 4:

$Jika \, \, cos(A+B)=\frac{1}{2} \: \: dan \: \: sin\, A \: sin B=\frac{1}{5}, maka \: nilai \: tan\: A\: tan\: B=....$

$A.\frac{2}{3}$

$B.\frac{2}{5}$

$C.1\frac{1}{3}$

$D.1\frac{1}{2}$

$E.\frac{2}{7}$

Penyelesaian:

$Dari\, \, cos(A+B)=cos\, A\: cos\, B-sin\, A\: sin\, B=\frac{1}{2} \: dan \: sin\, A\: sin\, B=\frac{1}{5}$

$cos(A+B)=cos\, A\: cos\, B-sin\, A\: sin\, B$

$cos\, A\: cos\, B-sin\, A\: sin\, B=\frac{1}{2}$

$cos\, A\: cos\, B-\frac{1}{5}=\frac{1}{2}$

$cos\, A\: cos\, B=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}$

$cos\, A\: cos\, B=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{7}{10}$

$maka: tan A.tan B=\frac{sinA}{cosA}.\frac{sin B}{cosB}=\frac{sinA\: sinB}{sosA\: cosB}$

$tan A.tan B=\frac{sinA\: sinB}{sosA\: cosB}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{10}}=\frac{1}{5}.\frac{10}{7}=\frac{2}{7}$

Baca Juga:

Contoh 5:

$Diketahui \: sinA\: =\frac{3}{5}\: dan \: tan\, B=\frac{1}{7}(A \: dan \: B\: sudut \: lancip).Nilai\: cos\, (A+B) \: adalah.....$

$A.0$

$B.\frac{1}{2}$

$C.\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$D.\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$E.1$

Penyelesaian:

$Dari \: sin A=\frac{3}{5},A=lancip, \: sehingga \, \, diperoleh\, \, \: dengan\, \, \: menggunakan\:\, \, rumus \:\, \, phytagoras \, \, bahwa:$

$cos A=\frac{4}{5}$

$Dari\, tan B=\frac{1}{7},maka\, \, dapat \, \, diperoleh \, \, sin \, B \, \, dan \, \, cos\, B\, \, dengan \, \, menggunakan \, \, perbandingan \, \, sisi \, \, (phytagoras) maka:$

$tan B=\frac{1}{7}=\frac{de}{sa} \, \, berarti:$

$mi=\sqrt{de^{2}+sa^{2}}=\sqrt{1^{2}+7^{2}}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

$maka: sin B = \frac{1}{5\sqrt{2}}\, \, dan\, \, cos \, B=\frac{7}{5\sqrt{2}}$

$jadi: cos (A+B)=cosA\: cosB-sinA\: sinB$

$cos (A+B)=\frac{4}{5}.\frac{7}{5\sqrt{2}}-\frac{3}{5}.\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{28}{25\sqrt{2}}-\frac{3}{25\sqrt{2}}=\frac{25}{25\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$

Contoh 6:

$Diketahui \, \, tan \, A=\frac{1}{2}\, \, dan\, \, tan \, B=\frac{1}{3},\, \, A \, \, dan \, \, B \, \, adalah \, \, sudut \, \, lancip.\, \, Hitunglah:$

$a.tan (A+B)$

$b.tan (A-B)$

Penyelesaian:

$a.tan (A+B)=\frac{tan\, A+tanB}{1-tanA\, \, tanB}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}.\frac{1}{3}}=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{6}}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}=1$

$b.tan (A-B)=\frac{tan\, A-tanB}{1+tanA\, \, tanB}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{6}}{1+\frac{1}{6}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}}=\frac{1}{7}$

Contoh 7:

$Nilai \, \, dari \, \, \frac{tan\, 50^{0}-tan\, 20^{0}}{1+tan\, 50^{0}.tan20^{0}}\, adalah....$

$A.\sqrt{3}$

$B.-\frac{1}{3}\sqrt{3}$

$C.\frac{1}{3}\sqrt{3}$

$D.-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$E.\sqrt{3}$

Penyelesaian:

$\frac{tan\, 50^{0}-tan\, 20^{0}}{1+tan\, 50^{0}tan\, 20^{0}}=tan(50-20)=tan\, 30^{0}$

$\frac{tan\, 50^{0}-tan\, 20^{0}}{1+tan\, 50^{0}tan\, 20^{0}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Demikian penjelasan materi rumus-rumus trigonometri yaitu Rumus Jumlah dan selisih sudut. Semoga bermanfaat. Untuk materi lanjutan boleh di dilihat blog ini kembali.

Salam Para Bintang

Ingin Pintar dan lulus di SMA PLUS YASOP, SMA DEL dan Matauli. Khusus buat kelas XII yuk persiapkan diri untuk bisa lulus di UTBK 2021.

Bimbelnya di star ed aja loh.....

Hubungi : 0821-6557-6215

BLOG PENDIDIK

Rumus - Rumus Trigonometri : Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Admin Wednesday, August 12, 2020 edit Tags: Materi Matematika