Materi, Soal dan Pembahasan Terlengkap tentang Barisan dan Deret Aritmatika

Admin

Monday, January 4, 2021

Salam para bintang

Materi ini adalah materi yang sudah sangat sering dipelajari mulai dari tingkat Sekolah Dasar (SD) hingga di kelas 9 SMP. Dan sekarang kita akan kembali membahas materi ini, agar semakin paham dan menguasaai beberapa soal yang sering dimunculkan di Ujian Nasional atau Assesment Nasional dan sering diujikan pada saat ujian masuk Perguruan Tinggi Negeri(PTN).

Simak dengan baik-baik setiap penjelasannya dalam tulisan ini agar semakin paham. biasakan membaca dan memahami agar kalian semakin mampu dalam belajar. Semoga bisa dipahami. Terimakasih.

A. Pengertian Barisan

Barisan adalah urutan bilangan dari kiri ke kanan yang memiliki pola tertentu, yang terdiri dari beberapa suku. Ingat, setiap bilangan dalam barisan tersebut dinamakan suku.

Contoh:

a. 1,2,3,4,5,6,7,8,....

b. 4,6,8,5,7,9,6,8,10,7,9,11,....

c. 1,4,9,16,25,36,49,....

B. Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan yang setiap dua suku yang berurutan mempunyai selisih yang konstan (tetap) atau sama. Bilangan konstan (tetap) tersebut disebut beda(b) dan suku ke-n dari barisan tersebut dilambangkan dengan Un.

$U_{1},U_{2},U_{3},U_{4},.........,U_{n-1},U_{n}$

Jadi beda dirumuskan dengan:

$b=U_{2}-U_{1}=U_{3},U_{2}=U_{n},U_{n-1}$

Jika suatu barisan aritmatika mempunyai suku pertama a dan beda b, maka rumus umum suku ke-n adalah sebagai berikut:

$U_{n}=a+(n-1)b$

Keterangan:

Un = suku ke-n

a = suku pertama (awal)

b = beda

n = banyak suku

Contoh 1:

Suku ke-20 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui a = 7 dan b = 5-7 = -2, maka:

$U_{n}=a+(n-1)b$

$U_{20}=7+(20-1)(-2)$

$U_{20}=7+(-38)$

$U_{20}=-31$

Jadi, suku ke-20 adalah-31

Contoh 2:

Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui a = 5 dan b = -2-5 = -7, maka:

$U_{n}=a+(n-1)b$

$U_{n}=5+(n-1)(-7)$

$U_{n}=-7n+12$

Contoh 3:

Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-12 adalah …

Pembahasan:

Diketahui a = 12 dan b = 14-12 = 2, maka:

$U_{n}=a+(n-1)b$

$U_{12}=12+(12-1)2$

$U_{12}=12+22$

$U_{12}=34$

Jadi, banyak kursi di baris ke -12 adalah 34 buah

Contoh 4:

Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke tiga adalah 25 dan suku ke sembilan adalah 18, maka suku ke-12 adalah....

Pembahasan:

Diketahui $U_3=15$ dan $U_9=18$ , maka:

$U_9=a+8b=18$

$U_3=a+2b=15$

-------------------- -

$6b=3$

$b=\frac{1}{2}$

Subsitus nilai $b=\frac{1}{2}$ ke $U_3=a+2b=15$ , maka:

$U_3=a+2b=15$

$a+2b=15$

$a+2(\frac{1}{2})=15$

$a+1=15$

$a=14$

Dengan menenntukan $U_{12}=a+11b$ , maka:

$U_{12}=a+11b$

$U_{12}=14+11\left ( \frac{1}{2} \right )$

$U_{12}=19\frac{1}{2}$

C. Deret Aritmatika

Jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika disebut sebagai deret aritmatika (Sn). Rumus umum jumlah n suku pertama barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b adalah:

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$

atau;

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )$

Ingat: Untuk n > 1, berlaku: $U_{n}=S_{n}-S_{n-1}$

Contoh 4:

Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui $U_{3}=24$ dan $U_{6}=36$

$U_{6}=a+5b=36$

$U_{3}=a+2b=24$

------------------------- -

$3b=12$

$b=4$

Dengan mensubsitusi ke $U_{3}=a+2b=24$ , maka diperoleh:

$U_{3}=a+2b=24$

$a+ 2(4)=24$

$a=24-8$

$a=16$

Karena nilai a = 16 dan b = 4, maka:

$S_{15}=\frac{15}{2}\left ( 2(16)+14(4) \right )$

$S_{15}=\frac{15}{2}\left (88 \right )$

$S_{15}=15(44)$

$S_{15}=660$

Contoh 5:

Jumlah bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 5 adalah...

Pembahasan:

Jumlah bilangan antara 1 dan 100 yang habis dibagi 5 adalah :

5+10+15+20+........+95

Dari atas, kita peroleh a = 5 dan b = 5 dan Un = 95, maka diperoleh:

Un = a + (n-1)b

95 = 5 + (n-1) 5

90 = 5n-5

5n = 95

n = 19

maka selanjutnya dihitung :
$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( a+U_{n} \right )$

$S_{19}=\frac{19}{2}\left ( 5+95 \right )$

$S_{19}=\frac{19}{2}\left ( 100 \right )$

$S_{19}=950$

Jadi, jumlah bilangan antara 1 dan 100 yang habis dibagi 5 adalah 950

Contoh 6:

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan

U_{2} = 8

dan

U_{6} = 20

. Jumlah

6

suku pertama barisan tersebut adalah... (SOAL UN MM IPA 2018)

Pembahasan:

$U_{2}=a+b=8$

$U_{6}=a+5b=20$

------------------------- -

$4b=12$

$b=3$

Subsitusi b = 3 ke $U_{2}=a+b=8$ , maka:

$U_{2}=a+b=8$

$a+3=8$

$a=5$

Setelah diperoleh a = 5 dan b = 3, maka:

$S_{n}=\frac{n}{2}\left ( 2a+(n-1)b \right )$

$S_{6}=\frac{6}{2}\left ( 2(5)+(5) 3\right )$

$S_{6}=3\left ( 10+15\right )$

$S_{6}=75$

D. Suku Tengah Barisan Aritmatika

Misalkan $U_{1},U_{2},U_{3},U_{4},.........,U_{n-1},U_{n}$ merupakan barisan aritmatika dengan n adalah bilangan ganjil, maka barisan tersebut mempunyai suku tengah Ut, yang dirumuskan dengan:

$U_{t}=\frac{U_{1}+U_{t}}{2}$

E. Sisipan pada Barisan Aritmatika

MIsalkan setiap bilangan berurutan pada barisan aritmatika dengan beda b disisipkan k bilangan dan tetap membentuk barisan aritmatika, maka barisan tersebut mempunyai suku pertama dan beda yang baru adalah:

$b^{'}=\frac{U_{n}-a}{k+1}$

BLOG PENDIDIK

Materi, Soal dan Pembahasan Terlengkap tentang Barisan dan Deret Aritmatika

Admin Monday, January 4, 2021 edit Tags: Asesment Kompetensi Minimum, Barisan dan Deret, Materi Matematika, SMA BRIGJEND KATAMSO 1 MEDAN, sma plus, utbk 2021